Числа и их свойства

На столе лежит стопка из красных и синих карт, на каждой из которых написано целое число, большее При этом числа на картах одного цвета различны. Числа на всех синих картах делятся на 5, а на всех красных – на 8. Известно, что самое большое число на красной карте равно утроенному количеству синих карт, а самое большое число на синей карте равно количеству красных карт.

а) Может ли количество синих карт быть равным 1?

б) Может ли количество синих карт быть равным 40?

в) Какое наибольшее количество синих карт может быть на столе?

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 128 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 25, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наибольшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и меньше 1198?

На столе лежит N монет по 5 рублей и по 2 рубля. N принимает значения от 1 до 999. Известно, что если взять любые 300 монет, то их сумма составит не меньше четверти от общей суммы всех монет.

а) Может ли N равняться 100?

б) Может ли N равняться 500?

в) Сколько различных значений может принимать

Семь различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 50?

б) Может ли сумма всех семи чисел быть равна 47?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма всех семи чисел?

а) Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Дана конечная последовательность натуральных чисел, каждое из которых не меньше 80 и не больше 170. Каждое следующее число либо делится на предыдущее, либо меньше предыдущего на 2. Числа в последовательности могут повторяться.

а) Может ли быть 40 различных чисел в последовательности?

б) Может ли быть 80 различных чисел в последовательности?

в) Найдите наибольшее количество различных чисел последовательности.

На доске написано не менее двух трёхзначных чисел (не обязательно различных), в записи которых нет нулей. У каждого из этих чисел стёрли вторую цифру (так, например, число 827 стало числом 87).

а) Приведите пример такого набора чисел, что сумма полученных чисел в 16 раз меньше суммы исходных.

б) Может ли сумма полученных чисел быть в 5,5 раз меньше суммы исходных?

в) Найдите наименьшее количество чисел на доске, если сумма полученных чисел в 17 раз меньше суммы исходных.

Дано трёхзначное натуральное число, не кратное 100.

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 70?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) Какое наибольшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1010 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б) Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

В ящике лежат 95 фруктов, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два фрукта различной массы, а средняя масса всех фруктов равна 100 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых меньше 100 г, равна 73 г. Средняя масса фруктов, масса каждого из которых больше 100 г, равна 115 г.

а) Могло ли в ящике оказаться поровну фруктов массой меньше 100 г и фруктов массой больше 100 г?

б) Могло ли в ящике оказаться меньше 10 фруктов, масса каждого из которых равна 100 г?

в) Какую наибольшую массу может иметь фрукт в этом ящике?